Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8704 / 8702
↖ ↑ ↗
← S 11.135287°
E 11.250000°		 ← 2 397.28 m → S 11.135287°
E 11.271973°		 →
↑
2 397.15 m
↓
↑
2 397.15 m
↓
S 11.156845°
E 11.250000°		 ← 2 397.10 m →
5 746 435 m²		 S 11.156845°
E 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531280517578125 y=0.531158447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531280517578125 × 214)
    floor (0.531280517578125 × 16384)
    floor (8704.5)     		tx = 8704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531158447265625 × 214)
    floor (0.531158447265625 × 16384)
    floor (8702.5)     		ty = 8702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8704 / 8702 ti = "14/8704/8702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8704/8702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8704 ÷ 214
    8704 ÷ 16384     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8702 ÷ 214
    8702 ÷ 16384     		y = 0.5311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.195582550449829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195582550449829))-π/2
    2×atan(0.822355454949378)-π/2
    2×0.688224452075505-π/2
    1.37644890415101-1.57079632675     		φ = -0.19434742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19434742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.135287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8704 KachelY 8702 0.19634954 -0.19434742 11.250000 -11.135287
    Oben rechts KachelX + 1 8705 KachelY 8702 0.19673304 -0.19434742 11.271973 -11.135287
    Unten links KachelX 8704 KachelY + 1 8703 0.19634954 -0.19472368 11.250000 -11.156845
    Unten rechts KachelX + 1 8705 KachelY + 1 8703 0.19673304 -0.19472368 11.271973 -11.156845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19434742--0.19472368) × R
    0.000376260000000017 × 6371000     		dl = 2397.15246000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19434742--0.19472368) × R
    0.000376260000000017 × 6371000     		dr = 2397.15246000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19673304) × cos(-0.19434742) × R
    0.000383500000000009 × 0.981173908811193 × 6371000     		do = 2397.2811161594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19673304) × cos(-0.19472368) × R
    0.000383500000000009 × 0.981101173664997 × 6371000     		du = 2397.10340394051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19434742)-sin(-0.19472368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981173908811193-0.981101173664997)×R²
    abs(0.19673304-0.19634954)×7.27351461963233e-05×R²
    0.000383500000000009×7.27351461963233e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.27351461963233e-05×40589641000000     		ar = 5746435.39106648m²