Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8705 / 8703
↖ ↑ ↗
← S 11.156845°
E 11.271973°		 ← 2 397.04 m → S 11.156845°
E 11.293945°		 →
↑
2 397.03 m
↓
↑
2 397.03 m
↓
S 11.178402°
E 11.271973°		 ← 2 396.86 m →
5 745 554 m²		 S 11.178402°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531341552734375 y=0.531219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531341552734375 × 214)
    floor (0.531341552734375 × 16384)
    floor (8705.5)     		tx = 8705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531219482421875 × 214)
    floor (0.531219482421875 × 16384)
    floor (8703.5)     		ty = 8703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8705 / 8703 ti = "14/8705/8703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8705/8703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8705 ÷ 214
    8705 ÷ 16384     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8703 ÷ 214
    8703 ÷ 16384     		y = 0.53118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.19596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19596604564679))-π/2
    2×atan(0.8220401460458)-π/2
    2×0.688036321306187-π/2
    1.37607264261237-1.57079632675     		φ = -0.19472368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19472368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.156845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8705 KachelY 8703 0.19673304 -0.19472368 11.271973 -11.156845
    Oben rechts KachelX + 1 8706 KachelY 8703 0.19711653 -0.19472368 11.293945 -11.156845
    Unten links KachelX 8705 KachelY + 1 8704 0.19673304 -0.19509992 11.271973 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 8706 KachelY + 1 8704 0.19711653 -0.19509992 11.293945 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19472368--0.19509992) × R
    0.00037624 × 6371000     		dl = 2397.02504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19472368--0.19509992) × R
    0.00037624 × 6371000     		dr = 2397.02504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19711653) × cos(-0.19472368) × R
    0.000383490000000014 × 0.981101173664997 × 6371000     		do = 2397.04089798477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19711653) × cos(-0.19509992) × R
    0.000383490000000014 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 2396.86286052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19472368)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981101173664997-0.981028303500043)×R²
    abs(0.19711653-0.19673304)×7.28701649540531e-05×R²
    0.000383490000000014×7.28701649540531e-05×6371000²
    0.000383490000000014×7.28701649540531e-05×40589641000000     		ar = 5745553.74201969m²