Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8706 / 8706
↖ ↑ ↗
← S 11.221510°
E 11.293945°		 ← 2 396.57 m → S 11.221510°
E 11.315918°		 →
↑
2 396.45 m
↓
↑
2 396.45 m
↓
S 11.243062°
E 11.293945°		 ← 2 396.39 m →
5 743 046 m²		 S 11.243062°
E 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531402587890625 y=0.531402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531402587890625 × 214)
    floor (0.531402587890625 × 16384)
    floor (8706.5)     		tx = 8706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531402587890625 × 214)
    floor (0.531402587890625 × 16384)
    floor (8706.5)     		ty = 8706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8706 / 8706 ti = "14/8706/8706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8706/8706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8706 ÷ 214
    8706 ÷ 16384     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8706 ÷ 214
    8706 ÷ 16384     		y = 0.5313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.197116531237671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197116531237671))-π/2
    2×atan(0.821094944527269)-π/2
    2×0.687472012858457-π/2
    1.37494402571691-1.57079632675     		φ = -0.19585230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19585230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.221510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8706 KachelY 8706 0.19711653 -0.19585230 11.293945 -11.221510
    Oben rechts KachelX + 1 8707 KachelY 8706 0.19750003 -0.19585230 11.315918 -11.221510
    Unten links KachelX 8706 KachelY + 1 8707 0.19711653 -0.19622845 11.293945 -11.243062
    Unten rechts KachelX + 1 8707 KachelY + 1 8707 0.19750003 -0.19622845 11.315918 -11.243062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19585230--0.19622845) × R
    0.000376149999999992 × 6371000     		dl = 2396.45164999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19585230--0.19622845) × R
    0.000376149999999992 × 6371000     		dr = 2396.45164999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19750003) × cos(-0.19585230) × R
    0.000383499999999981 × 0.980882166027831 × 6371000     		do = 2396.56830728911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19750003) × cos(-0.19622845) × R
    0.000383499999999981 × 0.980808896865344 × 6371000     		du = 2396.38929031969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19585230)-sin(-0.19622845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980882166027831-0.980808896865344)×R²
    abs(0.19750003-0.19711653)×7.32691624870663e-05×R²
    0.000383499999999981×7.32691624870663e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.32691624870663e-05×40589641000000     		ar = 5743045.63929911m²