Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8711 / 8711
↖ ↑ ↗
← S 11.329253°
E 11.403809°		 ← 2 395.61 m → S 11.329253°
E 11.425781°		 →
↑
2 395.56 m
↓
↑
2 395.56 m
↓
S 11.350797°
E 11.403809°		 ← 2 395.43 m →
5 738 605 m²		 S 11.350797°
E 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531707763671875 y=0.531707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531707763671875 × 214)
    floor (0.531707763671875 × 16384)
    floor (8711.5)     		tx = 8711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531707763671875 × 214)
    floor (0.531707763671875 × 16384)
    floor (8711.5)     		ty = 8711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8711 / 8711 ti = "14/8711/8711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8711/8711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8711 ÷ 214
    8711 ÷ 16384     		x = 0.53167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8711 ÷ 214
    8711 ÷ 16384     		y = 0.53167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53167724609375 × 2 - 1) × π
    0.0633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19903401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.0633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199034007222473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19903401} λ = 0.19903401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199034007222473))-π/2
    2×atan(0.819522023191271)-π/2
    2×0.686531779847235-π/2
    1.37306355969447-1.57079632675     		φ = -0.19773277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19903401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19773277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.329253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8711 KachelY 8711 0.19903401 -0.19773277 11.403809 -11.329253
    Oben rechts KachelX + 1 8712 KachelY 8711 0.19941750 -0.19773277 11.425781 -11.329253
    Unten links KachelX 8711 KachelY + 1 8712 0.19903401 -0.19810878 11.403809 -11.350797
    Unten rechts KachelX + 1 8712 KachelY + 1 8712 0.19941750 -0.19810878 11.425781 -11.350797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19773277--0.19810878) × R
    0.00037601000000001 × 6371000     		dl = 2395.55971000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19773277--0.19810878) × R
    0.00037601000000001 × 6371000     		dr = 2395.55971000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19903401-0.19941750) × cos(-0.19773277) × R
    0.000383489999999986 × 0.980514487589553 × 6371000     		do = 2395.60749788798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19903401-0.19941750) × cos(-0.19810878) × R
    0.000383489999999986 × 0.980440552321094 × 6371000     		du = 2395.42685814658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19773277)-sin(-0.19810878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980514487589553-0.980440552321094)×R²
    abs(0.19941750-0.19903401)×7.39352684591132e-05×R²
    0.000383489999999986×7.39352684591132e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.39352684591132e-05×40589641000000     		ar = 5738604.50388318m²