Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8712 / 8713
↖ ↑ ↗
← S 11.372339°
E 11.425781°		 ← 2 395.31 m → S 11.372339°
E 11.447754°		 →
↑
2 395.18 m
↓
↑
2 395.18 m
↓
S 11.393879°
E 11.425781°		 ← 2 395.13 m →
5 736 972 m²		 S 11.393879°
E 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531768798828125 y=0.531829833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531768798828125 × 214)
    floor (0.531768798828125 × 16384)
    floor (8712.5)     		tx = 8712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531829833984375 × 214)
    floor (0.531829833984375 × 16384)
    floor (8713.5)     		ty = 8713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8712 / 8713 ti = "14/8712/8713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8712/8713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8712 ÷ 214
    8712 ÷ 16384     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8713 ÷ 214
    8713 ÷ 16384     		y = 0.53179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.199800997616394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199800997616394))-π/2
    2×atan(0.818893698662118)-π/2
    2×0.686155785612679-π/2
    1.37231157122536-1.57079632675     		φ = -0.19848476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19848476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.372339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8712 KachelY 8713 0.19941750 -0.19848476 11.425781 -11.372339
    Oben rechts KachelX + 1 8713 KachelY 8713 0.19980100 -0.19848476 11.447754 -11.372339
    Unten links KachelX 8712 KachelY + 1 8714 0.19941750 -0.19886071 11.425781 -11.393879
    Unten rechts KachelX + 1 8713 KachelY + 1 8714 0.19980100 -0.19886071 11.447754 -11.393879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19848476--0.19886071) × R
    0.000375949999999986 × 6371000     		dl = 2395.17744999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19848476--0.19886071) × R
    0.000375949999999986 × 6371000     		dr = 2395.17744999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(-0.19848476) × R
    0.000383500000000009 × 0.980366484350022 × 6371000     		do = 2395.30835333305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(-0.19886071) × R
    0.000383500000000009 × 0.980292283719984 × 6371000     		du = 2395.12706052899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19848476)-sin(-0.19886071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980366484350022-0.980292283719984)×R²
    abs(0.19980100-0.19941750)×7.42006300384901e-05×R²
    0.000383500000000009×7.42006300384901e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.42006300384901e-05×40589641000000     		ar = 5736971.50705279m²