Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8735 / 8735
↖ ↑ ↗
← S 11.845847°
E 11.931152°		 ← 2 391.25 m → S 11.845847°
E 11.953125°		 →
↑
2 391.16 m
↓
↑
2 391.16 m
↓
S 11.867351°
E 11.931152°		 ← 2 391.06 m →
5 717 633 m²		 S 11.867351°
E 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533172607421875 y=0.533172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533172607421875 × 214)
    floor (0.533172607421875 × 16384)
    floor (8735.5)     		tx = 8735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533172607421875 × 214)
    floor (0.533172607421875 × 16384)
    floor (8735.5)     		ty = 8735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8735 / 8735 ti = "14/8735/8735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8735/8735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8735 ÷ 214
    8735 ÷ 16384     		x = 0.53314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8735 ÷ 214
    8735 ÷ 16384     		y = 0.53314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53314208984375 × 2 - 1) × π
    0.0662841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20823789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.208237891949524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20823789} λ = 0.20823789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208237891949524))-π/2
    2×atan(0.812013842177182)-π/2
    2×0.682023646596608-π/2
    1.36404729319322-1.57079632675     		φ = -0.20674903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20823789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20674903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.845847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8735 KachelY 8735 0.20823789 -0.20674903 11.931152 -11.845847
    Oben rechts KachelX + 1 8736 KachelY 8735 0.20862139 -0.20674903 11.953125 -11.845847
    Unten links KachelX 8735 KachelY + 1 8736 0.20823789 -0.20712435 11.931152 -11.867351
    Unten rechts KachelX + 1 8736 KachelY + 1 8736 0.20862139 -0.20712435 11.953125 -11.867351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20674903--0.20712435) × R
    0.000375320000000012 × 6371000     		dl = 2391.16372000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20674903--0.20712435) × R
    0.000375320000000012 × 6371000     		dr = 2391.16372000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20823789-0.20862139) × cos(-0.20674903) × R
    0.000383499999999981 × 0.978703442106091 × 6371000     		do = 2391.24507797369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20823789-0.20862139) × cos(-0.20712435) × R
    0.000383499999999981 × 0.978626327765447 × 6371000     		du = 2391.05666616315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20674903)-sin(-0.20712435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978703442106091-0.978626327765447)×R²
    abs(0.20862139-0.20823789)×7.71143406442798e-05×R²
    0.000383499999999981×7.71143406442798e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.71143406442798e-05×40589641000000     		ar = 5717633.28145423m²