Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8831 / 8831
↖ ↑ ↗
← S 13.902076°
E 14.040527°		 ← 2 371.71 m → S 13.902076°
E 14.062500°		 →
↑
2 371.54 m
↓
↑
2 371.54 m
↓
S 13.923404°
E 14.040527°		 ← 2 371.49 m →
5 624 347 m²		 S 13.923404°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539031982421875 y=0.539031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539031982421875 × 214)
    floor (0.539031982421875 × 16384)
    floor (8831.5)     		tx = 8831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539031982421875 × 214)
    floor (0.539031982421875 × 16384)
    floor (8831.5)     		ty = 8831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8831 / 8831 ti = "14/8831/8831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8831/8831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8831 ÷ 214
    8831 ÷ 16384     		x = 0.53900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8831 ÷ 214
    8831 ÷ 16384     		y = 0.53900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53900146484375 × 2 - 1) × π
    0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.245053430857727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24505343} λ = 0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245053430857727))-π/2
    2×atan(0.782662718784278)-π/2
    2×0.664079665156782-π/2
    1.32815933031356-1.57079632675     		φ = -0.24263700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24263700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.902076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8831 KachelY 8831 0.24505343 -0.24263700 14.040527 -13.902076
    Oben rechts KachelX + 1 8832 KachelY 8831 0.24543693 -0.24263700 14.062500 -13.902076
    Unten links KachelX 8831 KachelY + 1 8832 0.24505343 -0.24300924 14.040527 -13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 8832 KachelY + 1 8832 0.24543693 -0.24300924 14.062500 -13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24263700--0.24300924) × R
    0.000372239999999996 × 6371000     		dl = 2371.54103999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24263700--0.24300924) × R
    0.000372239999999996 × 6371000     		dr = 2371.54103999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24505343-0.24543693) × cos(-0.24263700) × R
    0.000383500000000009 × 0.970707776524611 × 6371000     		do = 2371.70944016544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24505343-0.24543693) × cos(-0.24300924) × R
    0.000383500000000009 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 2371.49075982747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24263700)-sin(-0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970707776524611-0.970618273695534)×R²
    abs(0.24543693-0.24505343)×8.95028290778255e-05×R²
    0.000383500000000009×8.95028290778255e-05×6371000²
    0.000383500000000009×8.95028290778255e-05×40589641000000     		ar = 5624347.03255328m²