Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8836 / 8836
↖ ↑ ↗
← S 14.008697°
E 14.150391°		 ← 2 370.55 m → S 14.008697°
E 14.172363°		 →
↑
2 370.46 m
↓
↑
2 370.46 m
↓
S 14.030015°
E 14.150391°		 ← 2 370.33 m →
5 619 031 m²		 S 14.030015°
E 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539337158203125 y=0.539337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539337158203125 × 214)
    floor (0.539337158203125 × 16384)
    floor (8836.5)     		tx = 8836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539337158203125 × 214)
    floor (0.539337158203125 × 16384)
    floor (8836.5)     		ty = 8836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8836 / 8836 ti = "14/8836/8836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8836/8836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8836 ÷ 214
    8836 ÷ 16384     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8836 ÷ 214
    8836 ÷ 16384     		y = 0.539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.246970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.246970906842529))-π/2
    2×atan(0.781163419711167)-π/2
    2×0.663149225610995-π/2
    1.32629845122199-1.57079632675     		φ = -0.24449788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24449788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.008697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8836 KachelY 8836 0.24697091 -0.24449788 14.150391 -14.008697
    Oben rechts KachelX + 1 8837 KachelY 8836 0.24735440 -0.24449788 14.172363 -14.008697
    Unten links KachelX 8836 KachelY + 1 8837 0.24697091 -0.24486995 14.150391 -14.030015
    Unten rechts KachelX + 1 8837 KachelY + 1 8837 0.24735440 -0.24486995 14.172363 -14.030015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24449788--0.24486995) × R
    0.000372070000000002 × 6371000     		dl = 2370.45797000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24449788--0.24486995) × R
    0.000372070000000002 × 6371000     		dr = 2370.45797000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24735440) × cos(-0.24449788) × R
    0.000383490000000014 × 0.970258995051632 × 6371000     		do = 2370.55112684077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24735440) × cos(-0.24486995) × R
    0.000383490000000014 × 0.970168861218618 × 6371000     		du = 2370.33091052687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24449788)-sin(-0.24486995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970258995051632-0.970168861218618)×R²
    abs(0.24735440-0.24697091)×9.01338330140389e-05×R²
    0.000383490000000014×9.01338330140389e-05×6371000²
    0.000383490000000014×9.01338330140389e-05×40589641000000     		ar = 5619030.86997681m²