Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8960 / 7935
↖ ↑ ↗
← N  5.637853°
E 16.875000°		 ← 2 431.46 m → N  5.637853°
E 16.896973°		 →
↑
2 431.49 m
↓
↑
2 431.49 m
↓
N  5.615986°
E 16.875000°		 ← 2 431.55 m →
5 912 186 m²		 N  5.615986°
E 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546905517578125 y=0.484344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546905517578125 × 214)
    floor (0.546905517578125 × 16384)
    floor (8960.5)     		tx = 8960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484344482421875 × 214)
    floor (0.484344482421875 × 16384)
    floor (7935.5)     		ty = 7935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8960 / 7935 ti = "14/8960/7935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8960/7935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8960 ÷ 214
    8960 ÷ 16384     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7935 ÷ 214
    7935 ÷ 16384     		y = 0.48431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48431396484375 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0985582656188354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0985582656188354))-π/2
    2×atan(1.10357870321724)-π/2
    2×0.834597708691382-π/2
    1.66919541738276-1.57079632675     		φ = 0.09839909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09839909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.637853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8960 KachelY 7935 0.29452431 0.09839909 16.875000 5.637853
    Oben rechts KachelX + 1 8961 KachelY 7935 0.29490781 0.09839909 16.896973 5.637853
    Unten links KachelX 8960 KachelY + 1 7936 0.29452431 0.09801744 16.875000 5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 8961 KachelY + 1 7936 0.29490781 0.09801744 16.896973 5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09839909-0.09801744) × R
    0.000381649999999997 × 6371000     		dl = 2431.49214999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09839909-0.09801744) × R
    0.000381649999999997 × 6371000     		dr = 2431.49214999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29490781) × cos(0.09839909) × R
    0.000383499999999981 × 0.995162714470603 × 6371000     		do = 2431.45966426754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29490781) × cos(0.09801744) × R
    0.000383499999999981 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 2431.55109410191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09839909)-sin(0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995162714470603-0.995200135433612)×R²
    abs(0.29490781-0.29452431)×3.74209630087385e-05×R²
    0.000383499999999981×3.74209630087385e-05×6371000²
    0.000383499999999981×3.74209630087385e-05×40589641000000     		ar = 5912186.31393289m²