Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9280 / 7232
↖ ↑ ↗
← N 20.632784°
E 23.906250°		 ← 2 286.56 m → N 20.632784°
E 23.928223°		 →
↑
2 286.68 m
↓
↑
2 286.68 m
↓
N 20.612220°
E 23.906250°		 ← 2 286.87 m →
5 228 987 m²		 N 20.612220°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566436767578125 y=0.441436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566436767578125 × 214)
    floor (0.566436767578125 × 16384)
    floor (9280.5)     		tx = 9280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441436767578125 × 214)
    floor (0.441436767578125 × 16384)
    floor (7232.5)     		ty = 7232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9280 / 7232 ti = "14/9280/7232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9280/7232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9280 ÷ 214
    9280 ÷ 16384     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7232 ÷ 214
    7232 ÷ 16384     		y = 0.44140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44140625 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368155389082031))-π/2
    2×atan(1.44506656909631)-π/2
    2×0.965453172903975-π/2
    1.93090634580795-1.57079632675     		φ = 0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9280 KachelY 7232 0.41724277 0.36011002 23.906250 20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 9281 KachelY 7232 0.41762627 0.36011002 23.928223 20.632784
    Unten links KachelX 9280 KachelY + 1 7233 0.41724277 0.35975110 23.906250 20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 9281 KachelY + 1 7233 0.41762627 0.35975110 23.928223 20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36011002-0.35975110) × R
    0.000358919999999985 × 6371000     		dl = 2286.6793199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36011002-0.35975110) × R
    0.000358919999999985 × 6371000     		dr = 2286.6793199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(0.36011002) × R
    0.000383500000000037 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 2286.56187901098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(0.35975110) × R
    0.000383500000000037 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 2286.87074591862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36011002)-sin(0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.935984475743722)×R²
    abs(0.41762627-0.41724277)×0.000126414941088338×R²
    0.000383500000000037×0.000126414941088338×6371000²
    0.000383500000000037×0.000126414941088338×40589641000000     		ar = 5228986.95855488m²