Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9284 / 9284
↖ ↑ ↗
← S 23.322080°
E 23.994141°		 ← 2 243.59 m → S 23.322080°
E 24.016113°		 →
↑
2 243.48 m
↓
↑
2 243.48 m
↓
S 23.342256°
E 23.994141°		 ← 2 243.25 m →
5 033 074 m²		 S 23.342256°
E 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566680908203125 y=0.566680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566680908203125 × 214)
    floor (0.566680908203125 × 16384)
    floor (9284.5)     		tx = 9284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566680908203125 × 214)
    floor (0.566680908203125 × 16384)
    floor (9284.5)     		ty = 9284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9284 / 9284 ti = "14/9284/9284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9284/9284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9284 ÷ 214
    9284 ÷ 16384     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9284 ÷ 214
    9284 ÷ 16384     		y = 0.566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.418776755080811))-π/2
    2×atan(0.657851040778387)-π/2
    2×0.581874621096889-π/2
    1.16374924219378-1.57079632675     		φ = -0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9284 KachelY 9284 0.41877676 -0.40704708 23.994141 -23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 9285 KachelY 9284 0.41916025 -0.40704708 24.016113 -23.322080
    Unten links KachelX 9284 KachelY + 1 9285 0.41877676 -0.40739922 23.994141 -23.342256
    Unten rechts KachelX + 1 9285 KachelY + 1 9285 0.41916025 -0.40739922 24.016113 -23.342256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40704708--0.40739922) × R
    0.000352140000000001 × 6371000     		dl = 2243.48394000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40704708--0.40739922) × R
    0.000352140000000001 × 6371000     		dr = 2243.48394000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41916025) × cos(-0.40704708) × R
    0.000383489999999986 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 2243.58919905232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41916025) × cos(-0.40739922) × R
    0.000383489999999986 × 0.918154415089097 × 6371000     		du = 2243.2484464494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40704708)-sin(-0.40739922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.918154415089097)×R²
    abs(0.41916025-0.41877676)×0.000139468950625998×R²
    0.000383489999999986×0.000139468950625998×6371000²
    0.000383489999999986×0.000139468950625998×40589641000000     		ar = 5033074.1515446m²