Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9480 / 9480
↖ ↑ ↗
← S 27.215556°
E 28.300781°		 ← 2 172.79 m → S 27.215556°
E 28.322754°		 →
↑
2 172.57 m
↓
↑
2 172.57 m
↓
S 27.235094°
E 28.300781°		 ← 2 172.41 m →
4 720 132 m²		 S 27.235094°
E 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578643798828125 y=0.578643798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578643798828125 × 214)
    floor (0.578643798828125 × 16384)
    floor (9480.5)     		tx = 9480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578643798828125 × 214)
    floor (0.578643798828125 × 16384)
    floor (9480.5)     		ty = 9480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9480 / 9480 ti = "14/9480/9480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9480/9480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9480 ÷ 214
    9480 ÷ 16384     		x = 0.57861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9480 ÷ 214
    9480 ÷ 16384     		y = 0.57861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49394181} λ = 0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493941813685059))-π/2
    2×atan(0.610216288294844)-π/2
    2×0.547897631599149-π/2
    1.0957952631983-1.57079632675     		φ = -0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9480 KachelY 9480 0.49394181 -0.47500106 28.300781 -27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 9481 KachelY 9480 0.49432531 -0.47500106 28.322754 -27.215556
    Unten links KachelX 9480 KachelY + 1 9481 0.49394181 -0.47534207 28.300781 -27.235094
    Unten rechts KachelX + 1 9481 KachelY + 1 9481 0.49432531 -0.47534207 28.322754 -27.235094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47500106--0.47534207) × R
    0.00034101000000003 × 6371000     		dl = 2172.57471000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47500106--0.47534207) × R
    0.00034101000000003 × 6371000     		dr = 2172.57471000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49394181-0.49432531) × cos(-0.47500106) × R
    0.000383500000000037 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 2172.78860249785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49394181-0.49432531) × cos(-0.47534207) × R
    0.000383500000000037 × 0.889136227834684 × 6371000     		du = 2172.40742903979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47500106)-sin(-0.47534207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.889136227834684)×R²
    abs(0.49432531-0.49394181)×0.000156009009230185×R²
    0.000383500000000037×0.000156009009230185×6371000²
    0.000383500000000037×0.000156009009230185×40589641000000     		ar = 4720131.54979755m²