Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 960 / 1087
↖ ↑ ↗
← S 11.005904°
W 11.250000°		 ← 19.186 km → S 11.005904°
W 11.074219°		 →
↑
19.181 km
↓
↑
19.181 km
↓
S 11.178402°
W 11.250000°		 ← 19.175 km →
367.905 km²		 S 11.178402°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468994140625 y=0.531005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468994140625 × 211)
    floor (0.468994140625 × 2048)
    floor (960.5)     		tx = 960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531005859375 × 211)
    floor (0.531005859375 × 2048)
    floor (1087.5)     		ty = 1087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 960 / 1087 ti = "11/960/1087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/960/1087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 960 ÷ 211
    960 ÷ 2048     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1087 ÷ 211
    1087 ÷ 2048     		y = 0.53076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193281579268066))-π/2
    2×atan(0.824249849790532)-π/2
    2×0.689353528409667-π/2
    1.37870705681933-1.57079632675     		φ = -0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 960 KachelY 1087 -0.19634954 -0.19208927 -11.250000 -11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 961 KachelY 1087 -0.19328158 -0.19208927 -11.074219 -11.005904
    Unten links KachelX 960 KachelY + 1 1088 -0.19634954 -0.19509992 -11.250000 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 961 KachelY + 1 1088 -0.19328158 -0.19509992 -11.074219 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19208927--0.19509992) × R
    0.00301065 × 6371000     		dl = 19180.85115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19208927--0.19509992) × R
    0.00301065 × 6371000     		dr = 19180.85115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(-0.19208927) × R
    0.00306795999999998 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 19186.4741405392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(-0.19509992) × R
    0.00306795999999998 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 19175.1528894121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19208927)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.981028303500043)×R²
    abs(-0.19328158--0.19634954)×0.000579211433190063×R²
    0.00306795999999998×0.000579211433190063×6371000²
    0.00306795999999998×0.000579211433190063×40589641000000     		ar = 367904606.85772m²