Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 964 / 964
↖ ↑ ↗
← N 10.487812°
W 10.546875°		 ← 19.219 km → N 10.487812°
W 10.371094°		 →
↑
19.225 km
↓
↑
19.225 km
↓
N 10.314919°
W 10.546875°		 ← 19.230 km →
369.593 km²		 N 10.314919°
W 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470947265625 y=0.470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470947265625 × 211)
    floor (0.470947265625 × 2048)
    floor (964.5)     		tx = 964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470947265625 × 211)
    floor (0.470947265625 × 2048)
    floor (964.5)     		ty = 964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 964 / 964 ti = "11/964/964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/964/964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 964 ÷ 211
    964 ÷ 2048     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 964 ÷ 211
    964 ÷ 2048     		y = 0.470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470703125 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184077694541016))-π/2
    2×atan(1.20210921679201)-π/2
    2×0.876921587730698-π/2
    1.7538431754614-1.57079632675     		φ = 0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 964 KachelY 964 -0.18407769 0.18304685 -10.546875 10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 965 KachelY 964 -0.18100973 0.18304685 -10.371094 10.487812
    Unten links KachelX 964 KachelY + 1 965 -0.18407769 0.18002930 -10.546875 10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 965 KachelY + 1 965 -0.18100973 0.18002930 -10.371094 10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18304685-0.18002930) × R
    0.00301755000000001 × 6371000     		dl = 19224.81105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18304685-0.18002930) × R
    0.00301755000000001 × 6371000     		dr = 19224.81105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18100973) × cos(0.18304685) × R
    0.00306795999999998 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 19219.4313054545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18100973) × cos(0.18002930) × R
    0.00306795999999998 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 19230.0798749153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18304685)-sin(0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983838446799311)×R²
    abs(-0.18100973--0.18407769)×0.000544796075058862×R²
    0.00306795999999998×0.000544796075058862×6371000²
    0.00306795999999998×0.000544796075058862×40589641000000     		ar = 369592574.150871m²