Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9727 / 7681
↖ ↑ ↗
← N 11.156845°
E 33.728027°		 ← 2 397.04 m → N 11.156845°
E 33.750000°		 →
↑
2 397.15 m
↓
↑
2 397.15 m
↓
N 11.135287°
E 33.728027°		 ← 2 397.22 m →
5 746 286 m²		 N 11.135287°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593719482421875 y=0.468841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593719482421875 × 214)
    floor (0.593719482421875 × 16384)
    floor (9727.5)     		tx = 9727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468841552734375 × 214)
    floor (0.468841552734375 × 16384)
    floor (7681.5)     		ty = 7681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9727 / 7681 ti = "14/9727/7681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9727/7681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9727 ÷ 214
    9727 ÷ 16384     		x = 0.59368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7681 ÷ 214
    7681 ÷ 16384     		y = 0.46881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    0.0623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.19596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58866513} λ = 0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19596604564679))-π/2
    2×atan(1.21648559965134)-π/2
    2×0.88276000548871-π/2
    1.76552001097742-1.57079632675     		φ = 0.19472368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19472368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.156845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9727 KachelY 7681 0.58866513 0.19472368 33.728027 11.156845
    Oben rechts KachelX + 1 9728 KachelY 7681 0.58904862 0.19472368 33.750000 11.156845
    Unten links KachelX 9727 KachelY + 1 7682 0.58866513 0.19434742 33.728027 11.135287
    Unten rechts KachelX + 1 9728 KachelY + 1 7682 0.58904862 0.19434742 33.750000 11.135287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19472368-0.19434742) × R
    0.000376260000000017 × 6371000     		dl = 2397.15246000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19472368-0.19434742) × R
    0.000376260000000017 × 6371000     		dr = 2397.15246000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58866513-0.58904862) × cos(0.19472368) × R
    0.000383490000000042 × 0.981101173664997 × 6371000     		do = 2397.04089798494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58866513-0.58904862) × cos(0.19434742) × R
    0.000383490000000042 × 0.981173908811193 × 6371000     		du = 2397.21860556988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19472368)-sin(0.19434742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981101173664997-0.981173908811193)×R²
    abs(0.58904862-0.58866513)×7.27351461963233e-05×R²
    0.000383490000000042×7.27351461963233e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.27351461963233e-05×40589641000000     		ar = 5746285.54920541m²