Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 976 / 1232
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W  8.437500°		 ← 16.146 km → S 34.307144°
W  8.261719°		 →
↑
16.132 km
↓
↑
16.132 km
↓
S 34.452219°
W  8.437500°		 ← 16.118 km →
260.228 km²		 S 34.452219°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476806640625 y=0.601806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476806640625 × 211)
    floor (0.476806640625 × 2048)
    floor (976.5)     		tx = 976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601806640625 × 211)
    floor (0.601806640625 × 2048)
    floor (1232.5)     		ty = 1232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 976 / 1232 ti = "11/976/1232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/976/1232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 976 ÷ 211
    976 ÷ 2048     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1232 ÷ 211
    1232 ÷ 2048     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 976 KachelY 1232 -0.14726216 -0.59877262 -8.437500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 977 KachelY 1232 -0.14419419 -0.59877262 -8.261719 -34.307144
    Unten links KachelX 976 KachelY + 1 1233 -0.14726216 -0.60130465 -8.437500 -34.452219
    Unten rechts KachelX + 1 977 KachelY + 1 1233 -0.14419419 -0.60130465 -8.261719 -34.452219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.60130465) × R
    0.00253203000000002 × 6371000     		dl = 16131.5631300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.60130465) × R
    0.00253203000000002 × 6371000     		dr = 16131.5631300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(-0.59877262) × R
    0.00306797 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 16145.5742117119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(-0.60130465) × R
    0.00306797 × 0.824598251909172 × 6371000     		du = 16117.6278347542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.60130465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.824598251909172)×R²
    abs(-0.14419419--0.14726216)×0.00142977203734429×R²
    0.00306797×0.00142977203734429×6371000²
    0.00306797×0.00142977203734429×40589641000000     		ar = 260228079.324938m²