Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9792 / 9792
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
E 35.156250°		 ← 2 045.85 m → S 33.137551°
E 35.178223°		 →
↑
2 045.66 m
↓
↑
2 045.66 m
↓
S 33.155948°
E 35.156250°		 ← 2 045.42 m →
4 184 688 m²		 S 33.155948°
E 35.178223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597686767578125 y=0.597686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597686767578125 × 214)
    floor (0.597686767578125 × 16384)
    floor (9792.5)     		tx = 9792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597686767578125 × 214)
    floor (0.597686767578125 × 16384)
    floor (9792.5)     		ty = 9792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9792 / 9792 ti = "14/9792/9792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9792/9792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9792 ÷ 214
    9792 ÷ 16384     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9792 ÷ 214
    9792 ÷ 16384     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9792 KachelY 9792 0.61359232 -0.57835937 35.156250 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 9793 KachelY 9792 0.61397581 -0.57835937 35.178223 -33.137551
    Unten links KachelX 9792 KachelY + 1 9793 0.61359232 -0.57868046 35.156250 -33.155948
    Unten rechts KachelX + 1 9793 KachelY + 1 9793 0.61397581 -0.57868046 35.178223 -33.155948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.57868046) × R
    0.000321089999999913 × 6371000     		dl = 2045.66438999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.57868046) × R
    0.000321089999999913 × 6371000     		dr = 2045.66438999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(-0.57835937) × R
    0.000383490000000042 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 2045.85187158772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(-0.57868046) × R
    0.000383490000000042 × 0.837185060992545 × 6371000     		du = 2045.42292298426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.57868046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837185060992545)×R²
    abs(0.61397581-0.61359232)×0.000175567291594625×R²
    0.000383490000000042×0.000175567291594625×6371000²
    0.000383490000000042×0.000175567291594625×40589641000000     		ar = 4184687.61443204m²