Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98176 / 98688
↖ ↑ ↗
← S 66.930060°
E 89.648437°		 ← 119.68 m → S 66.930060°
E 89.651184°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
S 66.931136°
E 89.648437°		 ← 119.68 m →
14 319 m²		 S 66.931136°
E 89.651184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749027252197266 y=0.752933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749027252197266 × 217)
    floor (0.749027252197266 × 131072)
    floor (98176.5)     		tx = 98176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752933502197266 × 217)
    floor (0.752933502197266 × 131072)
    floor (98688.5)     		ty = 98688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98176 / 98688 ti = "17/98176/98688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98176/98688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98176 ÷ 217
    98176 ÷ 131072     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98688 ÷ 217
    98688 ÷ 131072     		y = 0.7529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    -0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5892040962041))-π/2
    2×atan(0.204087981509463)-π/2
    2×0.201323203370746-π/2
    0.402646406741491-1.57079632675     		φ = -1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98176 KachelY 98688 1.56466040 -1.16814992 89.648437 -66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 98177 KachelY 98688 1.56470834 -1.16814992 89.651184 -66.930060
    Unten links KachelX 98176 KachelY + 1 98689 1.56466040 -1.16816870 89.648437 -66.931136
    Unten rechts KachelX + 1 98177 KachelY + 1 98689 1.56470834 -1.16816870 89.651184 -66.931136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16814992--1.16816870) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16814992--1.16816870) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56470834) × cos(-1.16814992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 119.68244388414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56470834) × cos(-1.16816870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391837199717585 × 6371000     		du = 119.677166683193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16814992)-sin(-1.16816870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.391837199717585)×R²
    abs(1.56470834-1.56466040)×1.72781801143773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72781801143773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72781801143773e-05×40589641000000     		ar = 14319.3751415442m²