Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98296 / 98312
↖ ↑ ↗
← S 66.522016°
E 89.978027°		 ← 121.68 m → S 66.522016°
E 89.980774°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
S 66.523110°
E 89.978027°		 ← 121.68 m →
14 807 m²		 S 66.523110°
E 89.980774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749942779541016 y=0.750064849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749942779541016 × 217)
    floor (0.749942779541016 × 131072)
    floor (98296.5)     		tx = 98296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750064849853516 × 217)
    floor (0.750064849853516 × 131072)
    floor (98312.5)     		ty = 98312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98296 / 98312 ti = "17/98296/98312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98296/98312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98296 ÷ 217
    98296 ÷ 131072     		x = 0.74993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98312 ÷ 217
    98312 ÷ 131072     		y = 0.75006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74993896484375 × 2 - 1) × π
    0.4998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57041283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.5001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57117982194696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57041283} λ = 1.57041283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57117982194696))-π/2
    2×atan(0.207799870825336)-π/2
    2×0.204884062882552-π/2
    0.409768125765104-1.57079632675     		φ = -1.16102820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57041283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16102820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.522016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98296 KachelY 98312 1.57041283 -1.16102820 89.978027 -66.522016
    Oben rechts KachelX + 1 98297 KachelY 98312 1.57046077 -1.16102820 89.980774 -66.522016
    Unten links KachelX 98296 KachelY + 1 98313 1.57041283 -1.16104730 89.978027 -66.523110
    Unten rechts KachelX + 1 98297 KachelY + 1 98313 1.57046077 -1.16104730 89.980774 -66.523110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16102820--1.16104730) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dl = 121.686099998902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16102820--1.16104730) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dr = 121.686099998902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57041283-1.57046077) × cos(-1.16102820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398396661526023 × 6371000     		do = 121.680595160035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57041283-1.57046077) × cos(-1.16104730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398379142680758 × 6371000     		du = 121.675244453756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16102820)-sin(-1.16104730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398396661526023-0.398379142680758)×R²
    abs(1.57046077-1.57041283)×1.75188452655184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75188452655184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75188452655184e-05×40589641000000     		ar = 14806.5115178376m²