Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98304 / 98304
↖ ↑ ↗
← S 66.513260°
E 90.000000°		 ← 121.70 m → S 66.513260°
E 90.002746°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
S 66.514355°
E 90.000000°		 ← 121.69 m →
14 816 m²		 S 66.514355°
E 90.002746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750003814697266 y=0.750003814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750003814697266 × 217)
    floor (0.750003814697266 × 131072)
    floor (98304.5)     		tx = 98304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750003814697266 × 217)
    floor (0.750003814697266 × 131072)
    floor (98304.5)     		ty = 98304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98304 / 98304 ti = "17/98304/98304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98304/98304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98304 ÷ 217
    98304 ÷ 131072     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98304 ÷ 217
    98304 ÷ 131072     		y = 0.75
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Φ = -1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57079632675))-π/2
    2×atan(0.207879576360095)-π/2
    2×0.204960467921993-π/2
    0.409920935843985-1.57079632675     		φ = -1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98304 KachelY 98304 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 98305 KachelY 98304 1.57084426 -1.16087539 90.002746 -66.513260
    Unten links KachelX 98304 KachelY + 1 98305 1.57079633 -1.16089450 90.000000 -66.514355
    Unten rechts KachelX + 1 98305 KachelY + 1 98305 1.57084426 -1.16089450 90.002746 -66.514355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16087539--1.16089450) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16087539--1.16089450) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57084426) × cos(-1.16087539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 121.698011232866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57084426) × cos(-1.16089450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398519289373031 × 6371000     		du = 121.692659197181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16087539)-sin(-1.16089450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.398519289373031)×R²
    abs(1.57084426-1.57079633)×1.75268538973872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75268538973872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75268538973872e-05×40589641000000     		ar = 14816.383940723m²