Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98311 / 98313
↖ ↑ ↗
← S 66.523110°
E 90.019226°		 ← 121.65 m → S 66.523110°
E 90.021973°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
S 66.524204°
E 90.019226°		 ← 121.64 m →
14 803 m²		 S 66.524204°
E 90.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750057220458984 y=0.750072479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750057220458984 × 217)
    floor (0.750057220458984 × 131072)
    floor (98311.5)     		tx = 98311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750072479248047 × 217)
    floor (0.750072479248047 × 131072)
    floor (98313.5)     		ty = 98313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98311 / 98313 ti = "17/98311/98313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98311/98313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98311 ÷ 217
    98311 ÷ 131072     		x = 0.750053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98313 ÷ 217
    98313 ÷ 131072     		y = 0.750068664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750053405761719 × 2 - 1) × π
    0.500106811523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.57113189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750068664550781 × 2 - 1) × π
    -0.500137329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57122775884658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57113189} λ = 1.57113189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57122775884658))-π/2
    2×atan(0.20778990978254)-π/2
    2×0.204874514142112-π/2
    0.409749028284223-1.57079632675     		φ = -1.16104730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57113189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16104730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.523110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98311 KachelY 98313 1.57113189 -1.16104730 90.019226 -66.523110
    Oben rechts KachelX + 1 98312 KachelY 98313 1.57117982 -1.16104730 90.021973 -66.523110
    Unten links KachelX 98311 KachelY + 1 98314 1.57113189 -1.16106640 90.019226 -66.524204
    Unten rechts KachelX + 1 98312 KachelY + 1 98314 1.57117982 -1.16106640 90.021973 -66.524204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16104730--1.16106640) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dl = 121.686100000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16104730--1.16106640) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dr = 121.686100000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57113189-1.57117982) × cos(-1.16104730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398379142680758 × 6371000     		do = 121.64986371873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57113189-1.57117982) × cos(-1.16106640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398361623690159 × 6371000     		du = 121.644514084198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16104730)-sin(-1.16106640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398379142680758-0.398361623690159)×R²
    abs(1.57117982-1.57113189)×1.75189905984308e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75189905984308e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75189905984308e-05×40589641000000     		ar = 14802.7719937941m²