Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98328 / 98328
↖ ↑ ↗
← S 66.539517°
E 90.065918°		 ← 121.60 m → S 66.539517°
E 90.068665°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.540611°
E 90.065918°		 ← 121.59 m →
14 781 m²		 S 66.540611°
E 90.068665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750186920166016 y=0.750186920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750186920166016 × 217)
    floor (0.750186920166016 × 131072)
    floor (98328.5)     		tx = 98328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750186920166016 × 217)
    floor (0.750186920166016 × 131072)
    floor (98328.5)     		ty = 98328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98328 / 98328 ti = "17/98328/98328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98328/98328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98328 ÷ 217
    98328 ÷ 131072     		x = 0.75018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98328 ÷ 217
    98328 ÷ 131072     		y = 0.75018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75018310546875 × 2 - 1) × π
    0.5003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57194681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.5003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57194681234088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57194681} λ = 1.57194681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57194681234088))-π/2
    2×atan(0.20764055142659)-π/2
    2×0.204731333407523-π/2
    0.409462666815047-1.57079632675     		φ = -1.16133366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57194681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16133366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.539517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98328 KachelY 98328 1.57194681 -1.16133366 90.065918 -66.539517
    Oben rechts KachelX + 1 98329 KachelY 98328 1.57199475 -1.16133366 90.068665 -66.539517
    Unten links KachelX 98328 KachelY + 1 98329 1.57194681 -1.16135274 90.065918 -66.540611
    Unten rechts KachelX + 1 98329 KachelY + 1 98329 1.57199475 -1.16135274 90.068665 -66.540611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16133366--1.16135274) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dl = 121.558680001091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16133366--1.16135274) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dr = 121.558680001091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57194681-1.57199475) × cos(-1.16133366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398116470992315 × 6371000     		do = 121.595017758937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57194681-1.57199475) × cos(-1.16135274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398098968170407 × 6371000     		du = 121.589671946603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16133366)-sin(-1.16135274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398116470992315-0.398098968170407)×R²
    abs(1.57199475-1.57194681)×1.75028219079332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75028219079332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75028219079332e-05×40589641000000     		ar = 14780.6049389072m²