Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98352 / 98288
↖ ↑ ↗
← S 66.495740°
E 90.131836°		 ← 121.78 m → S 66.495740°
E 90.134582°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.496836°
E 90.131836°		 ← 121.78 m →
14 835 m²		 S 66.496836°
E 90.134582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750370025634766 y=0.749881744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750370025634766 × 217)
    floor (0.750370025634766 × 131072)
    floor (98352.5)     		tx = 98352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749881744384766 × 217)
    floor (0.749881744384766 × 131072)
    floor (98288.5)     		ty = 98288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98352 / 98288 ti = "17/98352/98288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98352/98288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98352 ÷ 217
    98352 ÷ 131072     		x = 0.7503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98288 ÷ 217
    98288 ÷ 131072     		y = 0.7498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7503662109375 × 2 - 1) × π
    0.500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57309730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57002933635608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57309730} λ = 1.57309730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57002933635608))-π/2
    2×atan(0.208039079158994)-π/2
    2×0.205113358643069-π/2
    0.410226717286138-1.57079632675     		φ = -1.16056961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57309730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16056961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.495740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98352 KachelY 98288 1.57309730 -1.16056961 90.131836 -66.495740
    Oben rechts KachelX + 1 98353 KachelY 98288 1.57314523 -1.16056961 90.134582 -66.495740
    Unten links KachelX 98352 KachelY + 1 98289 1.57309730 -1.16058873 90.131836 -66.496836
    Unten rechts KachelX + 1 98353 KachelY + 1 98289 1.57314523 -1.16058873 90.134582 -66.496836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16056961--1.16058873) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16056961--1.16058873) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57309730-1.57314523) × cos(-1.16056961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398817244431763 × 6371000     		do = 121.783643358764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57309730-1.57314523) × cos(-1.16058873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398799710737086 × 6371000     		du = 121.778289234164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16056961)-sin(-1.16058873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398817244431763-0.398799710737086)×R²
    abs(1.57314523-1.57309730)×1.75336946774407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75336946774407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75336946774407e-05×40589641000000     		ar = 14834.5681739573m²