Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98370 / 98370
↖ ↑ ↗
← S 66.585400°
E 90.181274°		 ← 121.37 m → S 66.585400°
E 90.184021°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.586492°
E 90.181274°		 ← 121.37 m →
14 730 m²		 S 66.586492°
E 90.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750507354736328 y=0.750507354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750507354736328 × 217)
    floor (0.750507354736328 × 131072)
    floor (98370.5)     		tx = 98370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750507354736328 × 217)
    floor (0.750507354736328 × 131072)
    floor (98370.5)     		ty = 98370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98370 / 98370 ti = "17/98370/98370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98370/98370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98370 ÷ 217
    98370 ÷ 131072     		x = 0.750503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98370 ÷ 217
    98370 ÷ 131072     		y = 0.750503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750503540039062 × 2 - 1) × π
    0.501007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57396016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.501007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57396016212492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57396016} λ = 1.57396016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57396016212492))-π/2
    2×atan(0.207222918928442)-π/2
    2×0.204330929464949-π/2
    0.408661858929898-1.57079632675     		φ = -1.16213447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57396016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16213447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.585400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98370 KachelY 98370 1.57396016 -1.16213447 90.181274 -66.585400
    Oben rechts KachelX + 1 98371 KachelY 98370 1.57400810 -1.16213447 90.184021 -66.585400
    Unten links KachelX 98370 KachelY + 1 98371 1.57396016 -1.16215352 90.181274 -66.586492
    Unten rechts KachelX + 1 98371 KachelY + 1 98371 1.57400810 -1.16215352 90.184021 -66.586492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16213447--1.16215352) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16213447--1.16215352) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57396016-1.57400810) × cos(-1.16213447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39738173247306 × 6371000     		do = 121.370609702987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57396016-1.57400810) × cos(-1.16215352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397364251103725 × 6371000     		du = 121.365270442822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16213447)-sin(-1.16215352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39738173247306-0.397364251103725)×R²
    abs(1.57400810-1.57396016)×1.74813693344933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74813693344933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74813693344933e-05×40589641000000     		ar = 14730.1295356065m²