Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98624 / 98624
↖ ↑ ↗
← S 66.861082°
E 90.878906°		 ← 120.02 m → S 66.861082°
E 90.881653°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
S 66.862161°
E 90.878906°		 ← 120.02 m →
14 398 m²		 S 66.862161°
E 90.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752445220947266 y=0.752445220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752445220947266 × 217)
    floor (0.752445220947266 × 131072)
    floor (98624.5)     		tx = 98624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752445220947266 × 217)
    floor (0.752445220947266 × 131072)
    floor (98624.5)     		ty = 98624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98624 / 98624 ti = "17/98624/98624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98624/98624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98624 ÷ 217
    98624 ÷ 131072     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98624 ÷ 217
    98624 ÷ 131072     		y = 0.75244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58613613462842))-π/2
    2×atan(0.20471507705544)-π/2
    2×0.201925149595803-π/2
    0.403850299191607-1.57079632675     		φ = -1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98624 KachelY 98624 1.58613613 -1.16694603 90.878906 -66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 98625 KachelY 98624 1.58618407 -1.16694603 90.881653 -66.861082
    Unten links KachelX 98624 KachelY + 1 98625 1.58613613 -1.16696486 90.878906 -66.862161
    Unten rechts KachelX + 1 98625 KachelY + 1 98625 1.58618407 -1.16696486 90.881653 -66.862161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16694603--1.16696486) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dl = 119.965929999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16694603--1.16696486) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dr = 119.965929999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58618407) × cos(-1.16694603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 120.02065015138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58618407) × cos(-1.16696486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392944489934883 × 6371000     		du = 120.015361617206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16694603)-sin(-1.16696486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.392944489934883)×R²
    abs(1.58618407-1.58613613)×1.73152864407222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73152864407222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73152864407222e-05×40589641000000     		ar = 14398.0716929579m²