Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99330 / 99330
↖ ↑ ↗
← S 67.611313°
E 92.817993°		 ← 116.31 m → S 67.611313°
E 92.820740°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.612359°
E 92.817993°		 ← 116.30 m →
13 530 m²		 S 67.612359°
E 92.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757831573486328 y=0.757831573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757831573486328 × 217)
    floor (0.757831573486328 × 131072)
    floor (99330.5)     		tx = 99330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757831573486328 × 217)
    floor (0.757831573486328 × 131072)
    floor (99330.5)     		ty = 99330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99330 / 99330 ti = "17/99330/99330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99330/99330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99330 ÷ 217
    99330 ÷ 131072     		x = 0.757827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99330 ÷ 217
    99330 ÷ 131072     		y = 0.757827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757827758789062 × 2 - 1) × π
    0.515655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61997959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757827758789062 × 2 - 1) × π
    -0.515655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61997958576018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61997959} λ = 1.61997959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61997958576018))-π/2
    2×atan(0.197902739076355)-π/2
    2×0.195378151883934-π/2
    0.390756303767868-1.57079632675     		φ = -1.18004002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61997959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18004002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.611313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99330 KachelY 99330 1.61997959 -1.18004002 92.817993 -67.611313
    Oben rechts KachelX + 1 99331 KachelY 99330 1.62002752 -1.18004002 92.820740 -67.611313
    Unten links KachelX 99330 KachelY + 1 99331 1.61997959 -1.18005828 92.817993 -67.612359
    Unten rechts KachelX + 1 99331 KachelY + 1 99331 1.62002752 -1.18005828 92.820740 -67.612359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18004002--1.18005828) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dl = 116.334459998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18004002--1.18005828) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dr = 116.334459998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61997959-1.62002752) × cos(-1.18004002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		do = 116.308678323442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61997959-1.62002752) × cos(-1.18005828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380870937681593 × 6371000     		du = 116.303522698526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18004002)-sin(-1.18005828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38088782132923-0.380870937681593)×R²
    abs(1.62002752-1.61997959)×1.68836476377998e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68836476377998e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68836476377998e-05×40589641000000     		ar = 13530.4073979682m²