Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99360 / 99360
↖ ↑ ↗
← S 67.642677°
E 92.900390°		 ← 116.18 m → S 67.642677°
E 92.903137°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.643721°
E 92.900390°		 ← 116.17 m →
13 493 m²		 S 67.643721°
E 92.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758060455322266 y=0.758060455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758060455322266 × 217)
    floor (0.758060455322266 × 131072)
    floor (99360.5)     		tx = 99360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758060455322266 × 217)
    floor (0.758060455322266 × 131072)
    floor (99360.5)     		ty = 99360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99360 / 99360 ti = "17/99360/99360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99360/99360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99360 ÷ 217
    99360 ÷ 131072     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99360 ÷ 217
    99360 ÷ 131072     		y = 0.758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62141769274878))-π/2
    2×atan(0.197618338312604)-π/2
    2×0.195104455188927-π/2
    0.390208910377855-1.57079632675     		φ = -1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99360 KachelY 99360 1.62141769 -1.18058742 92.900390 -67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 99361 KachelY 99360 1.62146563 -1.18058742 92.903137 -67.642677
    Unten links KachelX 99360 KachelY + 1 99361 1.62141769 -1.18060565 92.900390 -67.643721
    Unten rechts KachelX + 1 99361 KachelY + 1 99361 1.62146563 -1.18060565 92.903137 -67.643721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18058742--1.18060565) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18058742--1.18060565) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62146563) × cos(-1.18058742) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 116.178339791117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62146563) × cos(-1.18060565) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38036476690582 × 6371000     		du = 116.1731904026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18058742)-sin(-1.18060565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.38036476690582)×R²
    abs(1.62146563-1.62141769)×1.6859707100525e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6859707100525e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6859707100525e-05×40589641000000     		ar = 13493.0402238961m²