Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99456 / 99456
↖ ↑ ↗
← S 67.742759°
E 93.164063°		 ← 115.66 m → S 67.742759°
E 93.166809°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.743800°
E 93.164063°		 ← 115.66 m →
13 381 m²		 S 67.743800°
E 93.166809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758792877197266 y=0.758792877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758792877197266 × 217)
    floor (0.758792877197266 × 131072)
    floor (99456.5)     		tx = 99456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758792877197266 × 217)
    floor (0.758792877197266 × 131072)
    floor (99456.5)     		ty = 99456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99456 / 99456 ti = "17/99456/99456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99456/99456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99456 ÷ 217
    99456 ÷ 131072     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99456 ÷ 217
    99456 ÷ 131072     		y = 0.7587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    -0.517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6260196351123))-π/2
    2×atan(0.196710999471531)-π/2
    2×0.194231068356987-π/2
    0.388462136713974-1.57079632675     		φ = -1.18233419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18233419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.742759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99456 KachelY 99456 1.62601964 -1.18233419 93.164063 -67.742759
    Oben rechts KachelX + 1 99457 KachelY 99456 1.62606757 -1.18233419 93.166809 -67.742759
    Unten links KachelX 99456 KachelY + 1 99457 1.62601964 -1.18235235 93.164063 -67.743800
    Unten rechts KachelX + 1 99457 KachelY + 1 99457 1.62606757 -1.18235235 93.166809 -67.743800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18233419--1.18235235) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18233419--1.18235235) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62606757) × cos(-1.18233419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378765582495472 × 6371000     		do = 115.660627165021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62606757) × cos(-1.18235235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378748775486608 × 6371000     		du = 115.655494942676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18233419)-sin(-1.18235235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378765582495472-0.378748775486608)×R²
    abs(1.62606757-1.62601964)×1.68070088641392e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68070088641392e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68070088641392e-05×40589641000000     		ar = 13381.3323268867m²