Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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6 / 33 / 21
N 52.482780°
E  5.625000°
← 380.912 km → N 52.482780°
E 11.250000°

395.885 km

395.885 km
N 48.922499°
E  5.625000°
← 410.984 km →
156 800 km²
N 48.922499°
E 11.250000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Länge in Grad lon 6.8655° -180°…+180° Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2*atan(exp(pi())) * 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2*Math.atan(Math.exp(Math.PI)) * 180/Math.PI - 90.
    Breite in Grad lat 51.1578° -85°…+85°
    Vergrößerungsstufe zoom 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
  2. Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (λ) Länge in Grad × π ÷ 180° 6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180 λ = 0.119825579792246
    Breite (φ) Breite in Grad × π ÷ 180° 51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180 φ = 0.892872048051235
  3. Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (Λ) λ (unverändert) 0.119825579792246} Λ = 0.119825579792246}
    Breite (Φ) log (tan φ + sec φ) =
    log (tan φ + 1/cos φ)
    log (tan 0.892872048051235 + 1/cos 0.892872048051235) =
    log 1.24187500346969 + 1/0.627177646342629) =
    log 1.24187500346969 + 1.59444458174088) =
    log 2.83631958521056
    Φ = 1.04250729104121
  4. Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
    Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) (1 + Λ/π) ÷ 2 (1 + 0.119825579792246/3.1415926535) ÷ 2 x = 0.519070833333333
    Y-Position (y) (1 - Φ/π) ÷ 2 (1 - 1.04250729104121/3.1415926535) ÷ 2 y = 0.334079811416708
  5. Aus der Kartenposition x=0.519070833333333 y=0.334079811416708 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519070833333333 × 26)
    floor (0.519070833333333 × 64)
    floor (33.2205333333333)
    tx = 33
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334079811416708 × 26)
    floor (0.334079811416708 × 64)
    floor (21.3811079306693)
    ty = 21
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 33 / 21 ti = "6/33/21"
  6. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/33/21.png und Kaffeepause.
  7. Aus den Nachkommastellen 0.220533333333336 und 0.381107930669287 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Marker-X (px) floor (fract (x × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.519070833333333 × 26) × 256)
    floor (fract (0.519070833333333 × 64) × 256)
    floor (fract (33.2205333333333) × 256)
    floor (0.220533333333336 × 256)
    floor (56.4565333333339)
    px = 56
    Marker-Y (py) floor (fract (y × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.334079811416708 × 26) × 256)
    floor (fract (0.334079811416708 × 64) × 256)
    floor (fract (21.3811079306693) × 256)
    floor (0.381107930669287 × 256)
    floor (97.5636302513376)
    py = 97
  8. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33 ÷ 26
    33 ÷ 64
    x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21 ÷ 26
    21 ÷ 64
    y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535
    Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535
    Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675
    φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  9. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33 KachelY 21 0.09817477 0.91599732 5.625000 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 34 KachelY 21 0.19634954 0.91599732 11.250000 52.482780
    Unten links KachelX 33 KachelY + 1 22 0.09817477 0.85385869 5.625000 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 34 KachelY + 1 22 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
  10. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.91599732-0.85385869) × R
    0.06213863 × 6371000
    dl = 395885.21173m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.91599732-0.85385869) × R
    0.06213863 × 6371000
    dr = 395885.21173m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.19634954) × cos(0.91599732) × R
    0.09817477 × 0.608999833781129 × 6371000
    do = 380912.01497387m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.19634954) × cos(0.85385869) × R
    0.09817477 × 0.657079281492828 × 6371000
    du = 410984.337314234m
  11. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.85385869))×
    abs(λ12)×abs(0.608999833781129-0.657079281492828)×
    abs(0.19634954-0.09817477)×0.0480794477116986×
    0.09817477×0.0480794477116986×6371000²
    0.09817477×0.0480794477116986×40589641000000
    ar = 156800484085.155m²