Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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0 / 0 / 0
     
  N 85.051129°
W180.000000°		 ← 3 453.272 km → N 85.051129°
E180.000000°		  
↑
18 914.508 km
↓
↑
18 914.508 km
↓
S 85.051129°
W180.000000°		 ← 3 453.272 km →
508 162 990 km²		 S 85.051129°
E180.000000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 0 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 0 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 0 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5 y=0.5 und der Vergrößerungsstufe zoom=0 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5 × 20)
    floor (0.5 × 1)
    floor (0.5)     		tx = 0
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5 × 20)
    floor (0.5 × 1)
    floor (0.5)     		ty = 0
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 0 / 0 / 0 ti = "0/0/0"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/0/0/0.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 0 ÷ 20
    0 ÷ 1     		x = 0
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 0 ÷ 20
    0 ÷ 1     		y = 0
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0 × 2 - 1) × π
    -1 × 3.1415926535     		Λ = -3.14159265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0 × 2 - 1) × π
    1 × 3.1415926535     		Φ = 3.1415926535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -3.14159265} λ = -3.14159265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.1415926535))-π/2
    2×atan(23.1406926307014)-π/2
    2×1.52760927826624-π/2
    3.05521855653248-1.57079632675     		φ = 1.48442223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -3.14159265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -180.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.48442223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 85.051129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 0 KachelY 0 -3.14159265 1.48442223 -180.000000 85.051129
    Oben rechts KachelX + 1 1 KachelY 0 3.14159265 1.48442223 180.000000 85.051129
    Unten links KachelX 0 KachelY + 1 1 -3.14159265 -1.48442223 -180.000000 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 1 KachelY + 1 1 3.14159265 -1.48442223 180.000000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.48442223--1.48442223) × R
    2.96884446 × 6371000     		dl = 18914508.05466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.48442223--1.48442223) × R
    2.96884446 × 6371000     		dr = 18914508.05466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-3.14159265-3.14159265) × cos(1.48442223) × R
    6.2831853 × 0.0862667380803361 × 6371000     		do = 3453272.49662906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-3.14159265-3.14159265) × cos(-1.48442223) × R
    6.2831853 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 3453272.49662906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.48442223)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0862667380803361-0.0862667380803361)×R²
    abs(3.14159265--3.14159265)×0×R²
    6.2831853×0×6371000²
    6.2831853×0×40589641000000     		ar = 508162989866550m²