Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1039 / 688
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E  2.636719°		 ← 12.370 km → N 50.736455°
E  2.812500°		 →
↑
12.385 km
↓
↑
12.385 km
↓
N 50.625073°
E  2.636719°		 ← 12.400 km →
153.391 km²		 N 50.625073°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507568359375 y=0.336181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507568359375 × 211)
    floor (0.507568359375 × 2048)
    floor (1039.5)     		tx = 1039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336181640625 × 211)
    floor (0.336181640625 × 2048)
    floor (688.5)     		ty = 688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1039 / 688 ti = "11/1039/688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1039/688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1039 ÷ 211
    1039 ÷ 2048     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 688 ÷ 211
    688 ÷ 2048     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1039 KachelY 688 0.04601942 0.88551819 2.636719 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 1040 KachelY 688 0.04908739 0.88551819 2.812500 50.736455
    Unten links KachelX 1039 KachelY + 1 689 0.04601942 0.88357421 2.636719 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 1040 KachelY + 1 689 0.04908739 0.88357421 2.812500 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.88357421) × R
    0.00194397999999996 × 6371000     		dl = 12385.0965799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.88357421) × R
    0.00194397999999996 × 6371000     		dr = 12385.0965799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04908739) × cos(0.88551819) × R
    0.00306797 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 12370.4596388748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04908739) × cos(0.88357421) × R
    0.00306797 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 12399.8552401903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.634392297664295)×R²
    abs(0.04908739-0.04601942)×0.00150391619083645×R²
    0.00306797×0.00150391619083645×6371000²
    0.00306797×0.00150391619083645×40589641000000     		ar = 153391419.353373m²