Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1039 / 719
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
E  2.636719°		 ← 13.290 km → N 47.159840°
E  2.812500°		 →
↑
13.305 km
↓
↑
13.305 km
↓
N 47.040182°
E  2.636719°		 ← 13.320 km →
177.033 km²		 N 47.040182°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507568359375 y=0.351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507568359375 × 211)
    floor (0.507568359375 × 2048)
    floor (1039.5)     		tx = 1039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351318359375 × 211)
    floor (0.351318359375 × 2048)
    floor (719.5)     		ty = 719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1039 / 719 ti = "11/1039/719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1039/719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1039 ÷ 211
    1039 ÷ 2048     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 719 ÷ 211
    719 ÷ 2048     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1039 KachelY 719 0.04601942 0.82309448 2.636719 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 1040 KachelY 719 0.04908739 0.82309448 2.812500 47.159840
    Unten links KachelX 1039 KachelY + 1 720 0.04601942 0.82100606 2.636719 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 1040 KachelY + 1 720 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82100606) × R
    0.00208841999999998 × 6371000     		dl = 13305.3238199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82100606) × R
    0.00208841999999998 × 6371000     		dr = 13305.3238199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04908739) × cos(0.82309448) × R
    0.00306797 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 13290.4338723846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04908739) × cos(0.82100606) × R
    0.00306797 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 13320.3365183264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.681485285580883)×R²
    abs(0.04908739-0.04601942)×0.00152985723606081×R²
    0.00306797×0.00152985723606081×6371000²
    0.00306797×0.00152985723606081×40589641000000     		ar = 177032522.917964m²