Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1042 / 722
↖ ↑ ↗
← N 46.800060°
E  3.164063°		 ← 13.380 km → N 46.800060°
E  3.339844°		 →
↑
13.395 km
↓
↑
13.395 km
↓
N 46.679595°
E  3.164063°		 ← 13.410 km →
179.428 km²		 N 46.679595°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509033203125 y=0.352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509033203125 × 211)
    floor (0.509033203125 × 2048)
    floor (1042.5)     		tx = 1042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352783203125 × 211)
    floor (0.352783203125 × 2048)
    floor (722.5)     		ty = 722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1042 / 722 ti = "11/1042/722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1042/722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1042 ÷ 211
    1042 ÷ 2048     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 722 ÷ 211
    722 ÷ 2048     		y = 0.3525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3525390625 × 2 - 1) × π
    0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926524395856445))-π/2
    2×atan(2.52571551751115)-π/2
    2×1.19380572712614-π/2
    2.38761145425228-1.57079632675     		φ = 0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1042 KachelY 722 0.05522331 0.81681513 3.164063 46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 1043 KachelY 722 0.05829127 0.81681513 3.339844 46.800060
    Unten links KachelX 1042 KachelY + 1 723 0.05522331 0.81471262 3.164063 46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 1043 KachelY + 1 723 0.05829127 0.81471262 3.339844 46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81681513-0.81471262) × R
    0.00210250999999995 × 6371000     		dl = 13395.0912099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81681513-0.81471262) × R
    0.00210250999999995 × 6371000     		dr = 13395.0912099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(0.81681513) × R
    0.00306796 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 13380.1245399436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(0.81471262) × R
    0.00306796 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 13410.0523794605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81681513)-sin(0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.686077498914387)×R²
    abs(0.05829127-0.05522331)×0.00153115116202984×R²
    0.00306796×0.00153115116202984×6371000²
    0.00306796×0.00153115116202984×40589641000000     		ar = 179428497.781419m²