Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1048 / 727
↖ ↑ ↗
← N 46.195042°
E  4.218750°		 ← 13.530 km → N 46.195042°
E  4.394531°		 →
↑
13.545 km
↓
↑
13.545 km
↓
N 46.073231°
E  4.218750°		 ← 13.560 km →
183.462 km²		 N 46.073231°
E  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511962890625 y=0.355224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511962890625 × 211)
    floor (0.511962890625 × 2048)
    floor (1048.5)     		tx = 1048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355224609375 × 211)
    floor (0.355224609375 × 2048)
    floor (727.5)     		ty = 727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1048 / 727 ti = "11/1048/727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1048/727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1048 ÷ 211
    1048 ÷ 2048     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 727 ÷ 211
    727 ÷ 2048     		y = 0.35498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35498046875 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.911184587978027))-π/2
    2×atan(2.48726717574104)-π/2
    2×1.18852595483521-π/2
    2.37705190967041-1.57079632675     		φ = 0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1048 KachelY 727 0.07363108 0.80625558 4.218750 46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 1049 KachelY 727 0.07669904 0.80625558 4.394531 46.195042
    Unten links KachelX 1048 KachelY + 1 728 0.07363108 0.80412957 4.218750 46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 1049 KachelY + 1 728 0.07669904 0.80412957 4.394531 46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80625558-0.80412957) × R
    0.00212601000000001 × 6371000     		dl = 13544.8097100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80625558-0.80412957) × R
    0.00212601000000001 × 6371000     		dr = 13544.8097100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.80625558) × R
    0.00306795999999999 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 13529.832633567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.80412957) × R
    0.00306795999999999 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 13559.7922440331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80625558)-sin(0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.693738404991914)×R²
    abs(0.07669904-0.07363108)×0.00153277660932649×R²
    0.00306795999999999×0.00153277660932649×6371000²
    0.00306795999999999×0.00153277660932649×40589641000000     		ar = 183461976.143959m²