Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1048 / 729
↖ ↑ ↗
← N 45.951150°
E  4.218750°		 ← 13.590 km → N 45.951150°
E  4.394531°		 →
↑
13.605 km
↓
↑
13.605 km
↓
N 45.828799°
E  4.218750°		 ← 13.620 km →
185.089 km²		 N 45.828799°
E  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511962890625 y=0.356201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511962890625 × 211)
    floor (0.511962890625 × 2048)
    floor (1048.5)     		tx = 1048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356201171875 × 211)
    floor (0.356201171875 × 2048)
    floor (729.5)     		ty = 729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1048 / 729 ti = "11/1048/729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1048/729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1048 ÷ 211
    1048 ÷ 2048     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 729 ÷ 211
    729 ÷ 2048     		y = 0.35595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35595703125 × 2 - 1) × π
    0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.90504866482666))-π/2
    2×atan(2.47205222212317)-π/2
    2×1.18639759194322-π/2
    2.37279518388644-1.57079632675     		φ = 0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1048 KachelY 729 0.07363108 0.80199886 4.218750 45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 1049 KachelY 729 0.07669904 0.80199886 4.394531 45.951150
    Unten links KachelX 1048 KachelY + 1 730 0.07363108 0.79986344 4.218750 45.828799
    Unten rechts KachelX + 1 1049 KachelY + 1 730 0.07669904 0.79986344 4.394531 45.828799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80199886-0.79986344) × R
    0.00213542 × 6371000     		dl = 13604.76082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80199886-0.79986344) × R
    0.00213542 × 6371000     		dr = 13604.76082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.80199886) × R
    0.00306795999999999 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 13589.7565940067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07669904) × cos(0.79986344) × R
    0.00306795999999999 × 0.69680466499832 × 6371000     		du = 13619.7252798199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80199886)-sin(0.79986344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.69680466499832)×R²
    abs(0.07669904-0.07363108)×0.00153324091708695×R²
    0.00306795999999999×0.00153324091708695×6371000²
    0.00306795999999999×0.00153324091708695×40589641000000     		ar = 185089316.798995m²