Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1052 / 732
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E  4.921875°		 ← 13.680 km → N 45.583290°
E  5.097656°		 →
↑
13.695 km
↓
↑
13.695 km
↓
N 45.460131°
E  4.921875°		 ← 13.710 km →
187.544 km²		 N 45.460131°
E  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513916015625 y=0.357666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513916015625 × 211)
    floor (0.513916015625 × 2048)
    floor (1052.5)     		tx = 1052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357666015625 × 211)
    floor (0.357666015625 × 2048)
    floor (732.5)     		ty = 732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1052 / 732 ti = "11/1052/732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1052/732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1052 ÷ 211
    1052 ÷ 2048     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 732 ÷ 211
    732 ÷ 2048     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1052 KachelY 732 0.08590292 0.79557849 4.921875 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 1053 KachelY 732 0.08897089 0.79557849 5.097656 45.583290
    Unten links KachelX 1052 KachelY + 1 733 0.08590292 0.79342896 4.921875 45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 1053 KachelY + 1 733 0.08897089 0.79342896 5.097656 45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.79342896) × R
    0.00214953000000007 × 6371000     		dl = 13694.6556300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.79342896) × R
    0.00214953000000007 × 6371000     		dr = 13694.6556300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08897089) × cos(0.79557849) × R
    0.00306797 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 13679.7177774934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08897089) × cos(0.79342896) × R
    0.00306797 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 13709.6959977974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.701405409648006)×R²
    abs(0.08897089-0.08590292)×0.00153372371613569×R²
    0.00306797×0.00153372371613569×6371000²
    0.00306797×0.00153372371613569×40589641000000     		ar = 187544366.992169m²