Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1070 / 694
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  8.085937°		 ← 12.547 km → N 50.064192°
E  8.261719°		 →
↑
12.562 km
↓
↑
12.562 km
↓
N 49.951220°
E  8.085937°		 ← 12.577 km →
157.801 km²		 N 49.951220°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522705078125 y=0.339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522705078125 × 211)
    floor (0.522705078125 × 2048)
    floor (1070.5)     		tx = 1070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339111328125 × 211)
    floor (0.339111328125 × 2048)
    floor (694.5)     		ty = 694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1070 / 694 ti = "11/1070/694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1070/694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1070 ÷ 211
    1070 ÷ 2048     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 694 ÷ 211
    694 ÷ 2048     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1070 KachelY 694 0.14112623 0.87378498 8.085937 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 1071 KachelY 694 0.14419419 0.87378498 8.261719 50.064192
    Unten links KachelX 1070 KachelY + 1 695 0.14112623 0.87181325 8.085937 49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 1071 KachelY + 1 695 0.14419419 0.87181325 8.261719 49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.87181325) × R
    0.00197173000000006 × 6371000     		dl = 12561.8918300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.87181325) × R
    0.00197173000000006 × 6371000     		dr = 12561.8918300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14419419) × cos(0.87378498) × R
    0.00306796000000001 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 12547.126330224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14419419) × cos(0.87181325) × R
    0.00306796000000001 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 12576.6525359823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.643439568499962)×R²
    abs(0.14419419-0.14112623)×0.00151060300331884×R²
    0.00306796000000001×0.00151060300331884×6371000²
    0.00306796000000001×0.00151060300331884×40589641000000     		ar = 157801147.362955m²