Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1072 / 752
↖ ↑ ↗
← N 43.068888°
E  8.437500°		 ← 14.279 km → N 43.068888°
E  8.613281°		 →
↑
14.294 km
↓
↑
14.294 km
↓
N 42.940339°
E  8.437500°		 ← 14.309 km →
204.317 km²		 N 42.940339°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523681640625 y=0.367431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523681640625 × 211)
    floor (0.523681640625 × 2048)
    floor (1072.5)     		tx = 1072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367431640625 × 211)
    floor (0.367431640625 × 2048)
    floor (752.5)     		ty = 752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1072 / 752 ti = "11/1072/752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1072/752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1072 ÷ 211
    1072 ÷ 2048     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 752 ÷ 211
    752 ÷ 2048     		y = 0.3671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3671875 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834485548585937))-π/2
    2×atan(2.30362863838476)-π/2
    2×1.16124511180433-π/2
    2.32249022360866-1.57079632675     		φ = 0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1072 KachelY 752 0.14726216 0.75169390 8.437500 43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 1073 KachelY 752 0.15033012 0.75169390 8.613281 43.068888
    Unten links KachelX 1072 KachelY + 1 753 0.14726216 0.74945030 8.437500 42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 1073 KachelY + 1 753 0.15033012 0.74945030 8.613281 42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75169390-0.74945030) × R
    0.00224360000000001 × 6371000     		dl = 14293.9756000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75169390-0.74945030) × R
    0.00224360000000001 × 6371000     		dr = 14293.9756000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(0.75169390) × R
    0.00306796000000001 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 14278.9821596898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(0.74945030) × R
    0.00306796000000001 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 14308.8926454679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75169390)-sin(0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.732063455134092)×R²
    abs(0.15033012-0.14726216)×0.00153026331987738×R²
    0.00306796000000001×0.00153026331987738×6371000²
    0.00306796000000001×0.00153026331987738×40589641000000     		ar = 204317278.167088m²