Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1073 / 753
↖ ↑ ↗
← N 42.940339°
E  8.613281°		 ← 14.309 km → N 42.940339°
E  8.789063°		 →
↑
14.324 km
↓
↑
14.324 km
↓
N 42.811522°
E  8.613281°		 ← 14.339 km →
205.173 km²		 N 42.811522°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524169921875 y=0.367919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524169921875 × 211)
    floor (0.524169921875 × 2048)
    floor (1073.5)     		tx = 1073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367919921875 × 211)
    floor (0.367919921875 × 2048)
    floor (753.5)     		ty = 753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1073 / 753 ti = "11/1073/753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1073/753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1073 ÷ 211
    1073 ÷ 2048     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 753 ÷ 211
    753 ÷ 2048     		y = 0.36767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831417587010254))-π/2
    2×atan(2.29657202448267)-π/2
    2×1.16012331416384-π/2
    2.32024662832767-1.57079632675     		φ = 0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1073 KachelY 753 0.15033012 0.74945030 8.613281 42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 1074 KachelY 753 0.15339808 0.74945030 8.789063 42.940339
    Unten links KachelX 1073 KachelY + 1 754 0.15033012 0.74720201 8.613281 42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 1074 KachelY + 1 754 0.15339808 0.74720201 8.789063 42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74945030-0.74720201) × R
    0.00224829000000004 × 6371000     		dl = 14323.8555900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74945030-0.74720201) × R
    0.00224829000000004 × 6371000     		dr = 14323.8555900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15339808) × cos(0.74945030) × R
    0.00306795999999998 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 14308.8926454677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15339808) × cos(0.74720201) × R
    0.00306795999999998 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 14338.7934025007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74945030)-sin(0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.733593220717427)×R²
    abs(0.15339808-0.15033012)×0.00152976558333451×R²
    0.00306795999999998×0.00152976558333451×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152976558333451×40589641000000     		ar = 205172745.395117m²