Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1076 / 756
↖ ↑ ↗
← N 42.553080°
E  9.140625°		 ← 14.399 km → N 42.553080°
E  9.316406°		 →
↑
14.413 km
↓
↑
14.413 km
↓
N 42.423457°
E  9.140625°		 ← 14.428 km →
207.749 km²		 N 42.423457°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525634765625 y=0.369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525634765625 × 211)
    floor (0.525634765625 × 2048)
    floor (1076.5)     		tx = 1076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369384765625 × 211)
    floor (0.369384765625 × 2048)
    floor (756.5)     		ty = 756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1076 / 756 ti = "11/1076/756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1076/756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1076 ÷ 211
    1076 ÷ 2048     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 756 ÷ 211
    756 ÷ 2048     		y = 0.369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369140625 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822213702283203))-π/2
    2×atan(2.2755316155812)-π/2
    2×1.15674384234268-π/2
    2.31348768468536-1.57079632675     		φ = 0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1076 KachelY 756 0.15953400 0.74269136 9.140625 42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 1077 KachelY 756 0.16260196 0.74269136 9.316406 42.553080
    Unten links KachelX 1076 KachelY + 1 757 0.15953400 0.74042900 9.140625 42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 1077 KachelY + 1 757 0.16260196 0.74042900 9.316406 42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74269136-0.74042900) × R
    0.00226236000000002 × 6371000     		dl = 14413.4955600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74269136-0.74042900) × R
    0.00226236000000002 × 6371000     		dr = 14413.4955600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.16260196) × cos(0.74269136) × R
    0.00306795999999998 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 14398.5633108381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.16260196) × cos(0.74042900) × R
    0.00306795999999998 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 14428.4312462155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74269136)-sin(0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.738179221270127)×R²
    abs(0.16260196-0.15953400)×0.00152808638039648×R²
    0.00306795999999998×0.00152808638039648×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152808638039648×40589641000000     		ar = 207748967.637789m²