Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1080 / 696
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
E  9.843750°		 ← 12.606 km → N 49.837983°
E 10.019531°		 →
↑
12.621 km
↓
↑
12.621 km
↓
N 49.724479°
E  9.843750°		 ← 12.636 km →
159.290 km²		 N 49.724479°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527587890625 y=0.340087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527587890625 × 211)
    floor (0.527587890625 × 2048)
    floor (1080.5)     		tx = 1080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340087890625 × 211)
    floor (0.340087890625 × 2048)
    floor (696.5)     		ty = 696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1080 / 696 ti = "11/1080/696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1080/696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1080 ÷ 211
    1080 ÷ 2048     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 696 ÷ 211
    696 ÷ 2048     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1080 KachelY 696 0.17180585 0.86983689 9.843750 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 1081 KachelY 696 0.17487381 0.86983689 10.019531 49.837983
    Unten links KachelX 1080 KachelY + 1 697 0.17180585 0.86785588 9.843750 49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 1081 KachelY + 1 697 0.17487381 0.86785588 10.019531 49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.86785588) × R
    0.00198100999999995 × 6371000     		dl = 12621.0147099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.86785588) × R
    0.00198100999999995 × 6371000     		dr = 12621.0147099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17487381) × cos(0.86983689) × R
    0.00306795999999998 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 12606.1990080086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17487381) × cos(0.86785588) × R
    0.00306795999999998 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 12635.7655834886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.646463876730745)×R²
    abs(0.17487381-0.17180585)×0.00151266837614206×R²
    0.00306795999999998×0.00151266837614206×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151266837614206×40589641000000     		ar = 159289655.302323m²