Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1138 / 658
↖ ↑ ↗
← N 53.956085°
E 20.039063°		 ← 11.501 km → N 53.956085°
E 20.214844°		 →
↑
11.515 km
↓
↑
11.515 km
↓
N 53.852527°
E 20.039063°		 ← 11.529 km →
132.600 km²		 N 53.852527°
E 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555908203125 y=0.321533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555908203125 × 211)
    floor (0.555908203125 × 2048)
    floor (1138.5)     		tx = 1138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321533203125 × 211)
    floor (0.321533203125 × 2048)
    floor (658.5)     		ty = 658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1138 / 658 ti = "11/1138/658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1138/658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1138 ÷ 211
    1138 ÷ 2048     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 658 ÷ 211
    658 ÷ 2048     		y = 0.3212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3212890625 × 2 - 1) × π
    0.357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1228739367002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1228739367002))-π/2
    2×atan(3.07367506950282)-π/2
    2×1.25625383538971-π/2
    2.51250767077942-1.57079632675     		φ = 0.94171134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94171134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.956085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1138 KachelY 658 0.34974762 0.94171134 20.039063 53.956085
    Oben rechts KachelX + 1 1139 KachelY 658 0.35281558 0.94171134 20.214844 53.956085
    Unten links KachelX 1138 KachelY + 1 659 0.34974762 0.93990390 20.039063 53.852527
    Unten rechts KachelX + 1 1139 KachelY + 1 659 0.35281558 0.93990390 20.214844 53.852527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94171134-0.93990390) × R
    0.00180743999999999 × 6371000     		dl = 11515.20024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94171134-0.93990390) × R
    0.00180743999999999 × 6371000     		dr = 11515.20024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.35281558) × cos(0.94171134) × R
    0.00306796000000004 × 0.588405155574787 × 6371000     		do = 11500.9513780705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.35281558) × cos(0.93990390) × R
    0.00306796000000004 × 0.58986562864102 × 6371000     		du = 11529.497745424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94171134)-sin(0.93990390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588405155574787-0.58986562864102)×R²
    abs(0.35281558-0.34974762)×0.00146047306623287×R²
    0.00306796000000004×0.00146047306623287×6371000²
    0.00306796000000004×0.00146047306623287×40589641000000     		ar = 132600152.735709m²