Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1232 / 592
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E 36.562500°		 ← 9 702.05 m → N 60.239811°
E 36.738281°		 →
↑
9 715.01 m
↓
↑
9 715.01 m
↓
N 60.152442°
E 36.562500°		 ← 9 727.91 m →
94 381 184 m²		 N 60.152442°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601806640625 y=0.289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601806640625 × 211)
    floor (0.601806640625 × 2048)
    floor (1232.5)     		tx = 1232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289306640625 × 211)
    floor (0.289306640625 × 2048)
    floor (592.5)     		ty = 592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1232 / 592 ti = "11/1232/592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1232/592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1232 ÷ 211
    1232 ÷ 2048     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 592 ÷ 211
    592 ÷ 2048     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1232 KachelY 592 0.63813601 1.05138305 36.562500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 1233 KachelY 592 0.64120397 1.05138305 36.738281 60.239811
    Unten links KachelX 1232 KachelY + 1 593 0.63813601 1.04985817 36.562500 60.152442
    Unten rechts KachelX + 1 1233 KachelY + 1 593 0.64120397 1.04985817 36.738281 60.152442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.04985817) × R
    0.00152488000000006 × 6371000     		dl = 9715.01048000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.04985817) × R
    0.00152488000000006 × 6371000     		dr = 9715.01048000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(1.05138305) × R
    0.00306795999999998 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 9702.05195062776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(1.04985817) × R
    0.00306795999999998 × 0.497694069522893 × 6371000     		du = 9727.91492478559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.04985817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.497694069522893)×R²
    abs(0.64120397-0.63813601)×0.00132318682452459×R²
    0.00306795999999998×0.00132318682452459×6371000²
    0.00306795999999998×0.00132318682452459×40589641000000     		ar = 94381184.1987409m²