Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 129 / 91
↖ ↑ ↗
← N 46.073231°
E  1.406250°		 ← 108.478 km → N 46.073231°
E  2.812500°		 →
↑
109.437 km
↓
↑
109.437 km
↓
N 45.089036°
E  1.406250°		 ← 110.397 km →
11 976.9 km²		 N 45.089036°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505859375 y=0.357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505859375 × 28)
    floor (0.505859375 × 256)
    floor (129.5)     		tx = 129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357421875 × 28)
    floor (0.357421875 × 256)
    floor (91.5)     		ty = 91
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 129 / 91 ti = "8/129/91"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/129/91.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 129 ÷ 28
    129 ÷ 256     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91 ÷ 28
    91 ÷ 256     		y = 0.35546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35546875 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908116626402344))-π/2
    2×atan(2.47964802921798)-π/2
    2×1.18746294911048-π/2
    2.37492589822095-1.57079632675     		φ = 0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 129 KachelY 91 0.02454369 0.80412957 1.406250 46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 130 KachelY 91 0.04908739 0.80412957 2.812500 46.073231
    Unten links KachelX 129 KachelY + 1 92 0.02454369 0.78695213 1.406250 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 130 KachelY + 1 92 0.04908739 0.78695213 2.812500 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80412957-0.78695213) × R
    0.01717744 × 6371000     		dl = 109437.47024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80412957-0.78695213) × R
    0.01717744 × 6371000     		dr = 109437.47024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.04908739) × cos(0.80412957) × R
    0.0245437 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 108478.426348413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.04908739) × cos(0.78695213) × R
    0.0245437 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 110396.857757631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80412957)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.706007107541517)×R²
    abs(0.04908739-0.02454369)×0.012268702549603×R²
    0.0245437×0.012268702549603×6371000²
    0.0245437×0.012268702549603×40589641000000     		ar = 11976873192.5483m²