Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 131 / 87
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
E  4.218750°		 ← 100.850 km → N 49.837983°
E  5.625000°		 →
↑
101.797 km
↓
↑
101.797 km
↓
N 48.922499°
E  4.218750°		 ← 102.746 km →
10 362.9 km²		 N 48.922499°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513671875 y=0.341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513671875 × 28)
    floor (0.513671875 × 256)
    floor (131.5)     		tx = 131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341796875 × 28)
    floor (0.341796875 × 256)
    floor (87.5)     		ty = 87
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 131 / 87 ti = "8/131/87"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/131/87.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 131 ÷ 28
    131 ÷ 256     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87 ÷ 28
    87 ÷ 256     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 131 KachelY 87 0.07363108 0.86983689 4.218750 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 132 KachelY 87 0.09817477 0.86983689 5.625000 49.837983
    Unten links KachelX 131 KachelY + 1 88 0.07363108 0.85385869 4.218750 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 132 KachelY + 1 88 0.09817477 0.85385869 5.625000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.85385869) × R
    0.0159781999999999 × 6371000     		dl = 101797.1122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.85385869) × R
    0.0159781999999999 × 6371000     		dr = 101797.1122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.86983689) × R
    0.02454369 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 100849.633153911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.85385869) × R
    0.02454369 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 102746.073862928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.657079281492828)×R²
    abs(0.09817477-0.07363108)×0.0121280731382248×R²
    0.02454369×0.0121280731382248×6371000²
    0.02454369×0.0121280731382248×40589641000000     		ar = 10362947990.4554m²