Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 132 / 76
↖ ↑ ↗
← N 58.813742°
E  5.625000°		 ← 80.971 km → N 58.813742°
E  7.031250°		 →
↑
81.825 km
↓
↑
81.825 km
↓
N 58.077876°
E  5.625000°		 ← 82.682 km →
6 695.50 km²		 N 58.077876°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517578125 y=0.298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517578125 × 28)
    floor (0.517578125 × 256)
    floor (132.5)     		tx = 132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298828125 × 28)
    floor (0.298828125 × 256)
    floor (76.5)     		ty = 76
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 132 / 76 ti = "8/132/76"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/132/76.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 132 ÷ 28
    132 ÷ 256     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76 ÷ 28
    76 ÷ 256     		y = 0.296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296875 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27627201548437))-π/2
    2×atan(3.58325647014846)-π/2
    2×1.29864488256632-π/2
    2.59728976513265-1.57079632675     		φ = 1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 132 KachelY 76 0.09817477 1.02649344 5.625000 58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 133 KachelY 76 0.12271846 1.02649344 7.031250 58.813742
    Unten links KachelX 132 KachelY + 1 77 0.09817477 1.01365016 5.625000 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 133 KachelY + 1 77 0.12271846 1.01365016 7.031250 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02649344-1.01365016) × R
    0.01284328 × 6371000     		dl = 81824.5368800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02649344-1.01365016) × R
    0.01284328 × 6371000     		dr = 81824.5368800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(1.02649344) × R
    0.02454369 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 80970.6879155976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(1.01365016) × R
    0.02454369 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 82682.0197631168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02649344)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.528766113348559)×R²
    abs(0.12271846-0.09817477)×0.0109442692891977×R²
    0.02454369×0.0109442692891977×6371000²
    0.02454369×0.0109442692891977×40589641000000     		ar = 6695495542.81469m²