Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 137 / 81
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
E 12.656250°		 ← 89.739 km → N 54.977613°
E 14.062500°		 →
↑
90.644 km
↓
↑
90.644 km
↓
N 54.162434°
E 12.656250°		 ← 91.552 km →
8 216.58 km²		 N 54.162434°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537109375 y=0.318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537109375 × 28)
    floor (0.537109375 × 256)
    floor (137.5)     		tx = 137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318359375 × 28)
    floor (0.318359375 × 256)
    floor (81.5)     		ty = 81
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 137 / 81 ti = "8/137/81"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/137/81.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 137 ÷ 28
    137 ÷ 256     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81 ÷ 28
    81 ÷ 256     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 137 KachelY 81 0.22089323 0.95954037 12.656250 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 138 KachelY 81 0.24543693 0.95954037 14.062500 54.977613
    Unten links KachelX 137 KachelY + 1 82 0.22089323 0.94531280 12.656250 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 138 KachelY + 1 82 0.24543693 0.94531280 14.062500 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.94531280) × R
    0.0142275700000001 × 6371000     		dl = 90643.8484700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.94531280) × R
    0.0142275700000001 × 6371000     		dr = 90643.8484700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(0.95954037) × R
    0.0245437 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 89738.9900704515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(0.94531280) × R
    0.0245437 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 91551.7439595159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.585489326925804)×R²
    abs(0.24543693-0.22089323)×0.0115928764269065×R²
    0.0245437×0.0115928764269065×6371000²
    0.0245437×0.0115928764269065×40589641000000     		ar = 8216583515.31734m²