Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 138 / 90
↖ ↑ ↗
← N 47.040182°
E 14.062500°		 ← 106.562 km → N 47.040182°
E 15.468750°		 →
↑
107.520 km
↓
↑
107.520 km
↓
N 46.073231°
E 14.062500°		 ← 108.478 km →
11 560.9 km²		 N 46.073231°
E 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541015625 y=0.353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541015625 × 28)
    floor (0.541015625 × 256)
    floor (138.5)     		tx = 138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353515625 × 28)
    floor (0.353515625 × 256)
    floor (90.5)     		ty = 90
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 138 / 90 ti = "8/138/90"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/138/90.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 138 ÷ 28
    138 ÷ 256     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90 ÷ 28
    90 ÷ 256     		y = 0.3515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3515625 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932660319007813))-π/2
    2×atan(2.54126075725446)-π/2
    2×1.19590119297073-π/2
    2.39180238594145-1.57079632675     		φ = 0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 138 KachelY 90 0.24543693 0.82100606 14.062500 47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 139 KachelY 90 0.26998062 0.82100606 15.468750 47.040182
    Unten links KachelX 138 KachelY + 1 91 0.24543693 0.80412957 14.062500 46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 139 KachelY + 1 91 0.26998062 0.80412957 15.468750 46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82100606-0.80412957) × R
    0.01687649 × 6371000     		dl = 107520.11779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82100606-0.80412957) × R
    0.01687649 × 6371000     		dr = 107520.11779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(0.82100606) × R
    0.02454369 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 106562.388224619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(0.80412957) × R
    0.02454369 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 108478.382150339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82100606)-sin(0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.693738404991914)×R²
    abs(0.26998062-0.24543693)×0.0122531194110306×R²
    0.02454369×0.0122531194110306×6371000²
    0.02454369×0.0122531194110306×40589641000000     		ar = 11560878875.0108m²