Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15362 / 13314
↖ ↑ ↗
← N 31.933517°
W 11.228028°		 ← 1 036.76 m → N 31.933517°
W 11.217041°		 →
↑
1 036.82 m
↓
↑
1 036.82 m
↓
N 31.924192°
W 11.228028°		 ← 1 036.86 m →
1 074 984 m²		 N 31.924192°
W 11.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468826293945312 y=0.406326293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468826293945312 × 215)
    floor (0.468826293945312 × 32768)
    floor (15362.5)     		tx = 15362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406326293945312 × 215)
    floor (0.406326293945312 × 32768)
    floor (13314.5)     		ty = 13314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15362 / 13314 ti = "15/15362/13314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15362/13314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15362 ÷ 215
    15362 ÷ 32768     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13314 ÷ 215
    13314 ÷ 32768     		y = 0.40631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58866512733429))-π/2
    2×atan(1.80158192710794)-π/2
    2×1.06407066800832-π/2
    2.12814133601663-1.57079632675     		φ = 0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15362 KachelY 13314 -0.19596605 0.55734501 -11.228028 31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 15363 KachelY 13314 -0.19577430 0.55734501 -11.217041 31.933517
    Unten links KachelX 15362 KachelY + 1 13315 -0.19596605 0.55718227 -11.228028 31.924192
    Unten rechts KachelX + 1 15363 KachelY + 1 13315 -0.19577430 0.55718227 -11.217041 31.924192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55734501-0.55718227) × R
    0.00016274000000005 × 6371000     		dl = 1036.81654000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55734501-0.55718227) × R
    0.00016274000000005 × 6371000     		dr = 1036.81654000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.55734501) × R
    0.000191749999999991 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 1036.75931892855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.55718227) × R
    0.000191749999999991 × 0.848748484886188 × 6371000     		du = 1036.86446251495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55734501)-sin(0.55718227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848748484886188)×R²
    abs(-0.19577430--0.19596605)×8.60676229875734e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60676229875734e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60676229875734e-05×40589641000000     		ar = 1074983.71954186m²