Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15368 / 13320
↖ ↑ ↗
← N 31.877558°
W 11.162109°		 ← 1 037.39 m → N 31.877558°
W 11.151123°		 →
↑
1 037.45 m
↓
↑
1 037.45 m
↓
N 31.868228°
W 11.162109°		 ← 1 037.49 m →
1 076 298 m²		 N 31.868228°
W 11.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469009399414062 y=0.406509399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469009399414062 × 215)
    floor (0.469009399414062 × 32768)
    floor (15368.5)     		tx = 15368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406509399414062 × 215)
    floor (0.406509399414062 × 32768)
    floor (13320.5)     		ty = 13320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15368 / 13320 ti = "15/15368/13320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15368/13320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15368 ÷ 215
    15368 ÷ 32768     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13320 ÷ 215
    13320 ÷ 32768     		y = 0.406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.587514641743408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587514641743408))-π/2
    2×atan(1.79951042490522)-π/2
    2×1.0635823325756-π/2
    2.1271646651512-1.57079632675     		φ = 0.55636834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55636834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.877558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15368 KachelY 13320 -0.19481556 0.55636834 -11.162109 31.877558
    Oben rechts KachelX + 1 15369 KachelY 13320 -0.19462381 0.55636834 -11.151123 31.877558
    Unten links KachelX 15368 KachelY + 1 13321 -0.19481556 0.55620550 -11.162109 31.868228
    Unten rechts KachelX + 1 15369 KachelY + 1 13321 -0.19462381 0.55620550 -11.151123 31.868228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55636834-0.55620550) × R
    0.000162839999999997 × 6371000     		dl = 1037.45363999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55636834-0.55620550) × R
    0.000162839999999997 × 6371000     		dr = 1037.45363999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19462381) × cos(0.55636834) × R
    0.000191749999999991 × 0.849178607242166 × 6371000     		do = 1037.38991686731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19462381) × cos(0.55620550) × R
    0.000191749999999991 × 0.849264592724852 × 6371000     		du = 1037.49496010789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55636834)-sin(0.55620550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849178607242166-0.849264592724852)×R²
    abs(-0.19462381--0.19481556)×8.5985482686235e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5985482686235e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5985482686235e-05×40589641000000     		ar = 1076298.43647788m²